Моделирование экологических систем и процессов

Для изучения процессов, происходящих в экологических системах, используется как математическое, так и имитационное моделирование. В экологическом моделировании можно выделить два основных направления:

а) моделирование взаимодействия организмов друг с другом и с окружающей средой (“классическая” экология);

б) моделирование, связанное с состоянием окружающей среды и ее охраной (социальная экология).

Оба направления представлены большим количеством разработанных моделей.

Классическая экология

В классической экологии рассматриваются взаимодействия нескольких типов:

· взаимодействие организма и окружающей среды;

· взаимодействие особей внутри популяции (популяция — это совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию);

· взаимодействие между особями разных видов (между популяциями).

Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. И хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ. Может показаться удивительным, что люди пытаются воссоздать живую природу в искусственной математической форме, но есть веские причины, которые стимулируют эти занятия. Вот некоторые цели создания математических моделей в классической экологии.

1. Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.

2. Модели выступают в качестве “общего языка”, с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление; относительные свойства таких явлений становятся более понятными.

3. Модель может служить образцом “идеального объекта” или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.

При построении математических моделей в экологии используется опыт математического моделирования механических и физических систем, но с учетом специфических особенностей биологических систем:

· сложности внутреннего строения каждой особи;

· зависимости условий жизнедеятельности организмов от многих факторов внешней среды;

· незамкнутости экологических систем;

· огромного диапазона внешних характеристик, при которых сохраняется жизнеспособность систем.

Социальная экология

Моделирование, связанное с состоянием окружающей среды, в свою очередь, распадается на ряд направлений. Назовем некоторые из них:

· моделирование водных экосистем (трансформации компонент экосистемы, образования и превращения веществ, потребления, роста и гибели организмов);

· моделирование продукционного процесса растений (для выбора оптимальной стратегии проведения сельскохозяйственных мероприятий: орошения, полива, внесения удобрений, выбора сроков посева или посадки растений с целью получения максимального урожая);

· моделирование лесных сообществ (используются как для описания лесных массивов на больших пространственных и временных масштабах, так и для моделирования популяций, в которых основным объектом является отдельное дерево);

· моделирование загрязнения атмосферы и поверхности земли промышленными выбросами (перенос загрязняющих веществ, ущерб, наносимый здоровью населения, сельскохозяйственным угодьям, лесным массивам, почве, затраты на восстановление окружающей среды и т.д.);

· глобальные модели, в которых Земля рассматривается как единая экосистема. Наиболее известные модели такого рода — “ядерная зима” (катастрофические последствия ядерной войны), глобальное потепление (парниковый эффект вследствие промышленной деятельности человечества) и т.д.

Привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологических процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой — возникли принципиально новые направления (например, имитационное моделирование).

Методические рекомендации

Укажем на некоторые модели взаимодействия популяций, которые могут быть положены в основу изучения классических моделей экологии в рамках школьного курса информатики.

1. Динамика развития популяции с дискретным размножением с учетом внутривидовой конкуренции.

2. Динамика развития популяции с непрерывным размножением с учетом внутривидовой конкуренции. Логистическая модель.

3. Логистическая модель межвидовой конкуренции.

4. Моделирование системы “хищник–жертва”.

5. Имитационное моделирование динамики популяций.

Первая беседа по этой теме может быть посвящена введению в проблематику классической экологии и использованию в ней математических моделей. Следует дать определения таким понятиям, как “популяция”, “сообщество”, “внутривидовая конкуренция”, “межвидовая конкуренция”, сформулировать основные цели создания математических моделей в классической экологии.

После вводной лекции можно приступать к построению и исследованию конкретных моделей. Методически уместно начать с рассмотрения развития популяций с дискретным размножением, после чего следует плавный переход на популяции с непрерывным размножением. Естественная последовательность рассмотрения такова:

· динамическое моделирование численности изолированной популяции с дискретным размножением:

а) при отсутствии внутривидовой конкуренции;

б) при наличии внутривидовой конкуренции;

· динамическое моделирование численности изолированной популяции с непрерывным размножением:

а) при отсутствии внутривидовой конкуренции;

б) при наличии внутривидовой конкуренции;

· динамическое моделирование взаимодействия популяций:

а) состоящих в отношениях межвидовой конкуренции;

б) состоящих в отношениях “хищник–жертва”;

· имитационное моделирование развития популяции и взаимодействия популяций.

Обсудим методику построения и исследования моделей такого рода на нескольких примерах.

Пример 1. Моделирование развития изолированной популяции с дискретным размножением с учетом внутривидовой конкуренции.

Рассматриваются биологические виды, для которых потомки и предки не сосуществуют во времени (многочисленные растения, насекомые и др.). Тогда последовательные значения численности популяции можно представить N0N1, …

Если нет никаких причин ограничения численности популяции, тогда возникает простейшая очевидная модель: Nt+1 =  R · Nt, где R — коэффициент воспроизводства. Решение этой модели очевидно: Nt =  N0 · Rt и при R > 1 численность популяции нарастает по геометрической прогрессии.

Даже эта простейшая модель заслуживает обсуждения. Она выражает то, что в литературе иногда называют “законом Мальтуса”.

Очевидно, что неограниченно долго возрастать популяция не может. Простейший способ учета внутривидовой конкуренции связан с гипотезой о том, что коэффициент воспроизводства не есть константа, а зависит от численности популяции, спадая по мере ее роста. На этом этапе следует разъяснить учащимся методику построения моделей в сфере знаний, где основным способом исследования являются наблюдения, в которой точные математические законы отсутствуют в силу сложности системы (в отличие от, например, физики). В такой ситуации делаются достаточно произвольные допущения, в значительной мере оправдываемые простотой, а полезность модели определяется путем сопоставления ее решений с закономерностями поведения реальных систем.

Проиллюстрируем это простым соображением. Итак, надо учесть, что величина монотонно спадает с ростом величины N. Реального характера этого спада мы не знаем; его можно представить множеством способов с использованием общеизвестных элементарных функций, а если надо, то и выходом из этого класса.

Модель, в основу которой положена простейшая из таких функций, выглядит следующим образом:  Полезность модели следует из того, что описываемое ею поведение численности популяций многократно наблюдалось экологами в природе.

Далее ставим вопрос: достаточно ли этой модели для качественного описания развития любой популяции с дискретным размножением? Наблюдались ли качественно иные динамики развития таких популяций? Ответ должен быть положительным: в природе наблюдаются и существенно более сложные процессы, нежели монотонное возрастание численности популяции с выходом на стационар, предсказываемое описанной выше моделью. Поэтому продолжаем поиск более адекватных моделей.

В частности, целесообразно рассмотреть модель, предсказывающую четыре качественно разных типа динамики численности популяций (в зависимости от соотношения значений параметров): монотонное возрастание с выходом на стационар, колебательное установление численности, регулярное колебательное изменение (так называемые “предельные циклы”) и хаотическое поведение без каких-либо видимых закономерностей. Все эти типы динамик наблюдаются в природе.

Методика изучения сложных движений зависит от математической подготовки учащихся. Чаще всего предельные циклы и хаотическое поведение приводим описательно, иллюстративно, не стремясь дать определение этим сложным процессам. В классах же с высоким уровнем математической подготовки и выраженным интересом учащихся обсуждение этих вопросов может быть существенным элементом развития математических интересов.

При изучении моделей, выраженных дифференциальными уравнениями, методика исследования в основном остается та же. Она включает следующие этапы:

· постановку проблемы, введение терминологии, описание поведения соответствующих природных систем;

· построение математической модели;

· попытку качественного исследования модели, включая построение диаграмм на фазовой плоскости параметров модели;

· численное решение дифференциальных уравнений (как правило, простейшими из методов дискретизации, либо путем использования готовых программ).

Заметно иной является методика построения имитационных моделей экологических процессов.

Пример 2. Разработать имитационную модель системы “хищник–жертва” по следующей схеме.

“Остров” размером 20 ? 20 заселен дикими кроликами, волками и волчицами. Имеется по нескольку представителей каждого вида. Кролики в каждый момент времени с одинаковой вероятностью 1/9 передвигаются в один из восьми соседних квадратов (за исключением участков, ограниченных береговой линией) или просто сидят неподвижно. Каждый кролик с вероятностью 0,2 превращается в двух кроликов. Каждая волчица передвигается случайным образом, пока в одном из соседних восьми квадратов не окажется кролик, за которым она охотится. Если волчица и кролик оказываются в одном квадрате, волчица съедает кролика и получает одно очко. В противном случае она теряет 0,1 очка.

Волки и волчицы с нулевым количеством очков умирают.

В начальный момент времени все волки и волчицы имеют 1 очко.

Волк ведет себя подобно волчице до тех пор, пока в соседних квадратах не исчезнут все кролики; тогда, если волчица находится в одном из восьми близлежащих квадратов, волк гонится за ней.

Если волк и волчица окажутся в одном квадрате и там нет кролика, которого нужно съесть, они производят потомство случайного пола.

Задание: понаблюдать за изменением популяции в течение некоторого периода времени. Проследить, как сказываются на эволюции популяций изменения параметров модели.

Что же касается моделирования состояния окружающей среды, то оно почти всегда существенно сложнее, и в школьном курсе информатики представляется нецелесообразным заниматься реализацией таких моделей на уроках. Это не исключает возможности эксперимента с готовыми моделями подобного рода.