Моделирование процессов оптимального планирования

Постановка задачи оптимального планирования

Планирование — важнейший этап экономической и управленческой деятельности. Объектом планирования может быть деятельность подразделения или всего предприятия, отрасли промышленности или сельского хозяйства, региона, наконец, государства.

Постановка задачи планирования в общем случае выглядит следующим образом:

· имеются некоторые плановые показатели: XY, …;

· имеются некоторые ресурсы: R1, R2, …, за счет которых эти плановые показатели могут быть достигнуты;

· имеется определенная стратегическая цель, зависящая от значений плановых показателей, на которую следует ориентировать планирование.

Задача оптимального планирования заключается в определении значений плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения стратегической цели.

Приведем примеры. Пусть объектом планирования является детский сад. Ограничимся лишь двумя плановыми показателями: числом детей и числом воспитателей. Основными ресурсами деятельности детского сада являются размер финансирования и размер помещения. А каковы стратегические цели? Естественно, одной из них является сохранение и укрепление здоровья детей. Количественной мерой этой цели является минимизация заболеваемости воспитанников детского сада.

Другой пример: планирование экономической деятельности государства. Безусловно, это слишком сложная задача для детального анализа. Плановых показателей очень много: это производство различных видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, подготовка специалистов, выработка электроэнергии, размер зарплаты работников бюджетной сферы и многое другое. К ресурсам относятся: количество работоспособного населения, бюджет государства, природные ресурсы, энергетика, возможности транспортных систем и пр. Разумеется, каждый из этих видов ресурсов ограничен. Кроме того, важнейшим ресурсом является время, отведенное на выполнение плана.

Вопрос о стратегических целях в этом случае очень сложен. У государства их много, но в разные периоды истории приоритеты могут меняться. Например, в военное время главной целью является максимальная обороноспособность, военная мощь страны. В мирное время в современном цивилизованном государстве приоритетной целью должно быть достижение максимального уровня жизни населения.

Решение задач оптимального планирования чаще всего является сложным и недоступным при использовании лишь человеческого опыта (эмпирических методов). Для решения таких задач строится математическая модель, устанавливающая связь между параметрами задачи. Следовательно, оптимальное планирование осуществляется путем применения математического моделирования. Как правило, такие модели для реальных ситуаций не поддаются аналитическому решению, поэтому используются численные методы решения, реализуемые на компьютере.

Пример математической модели оптимального планирования

Рассмотрим простой пример, с помощью которого можно получить представление об одном из классов задач оптимального планирования.

Школьный кондитерский цех готовит пирожки и пирожные. В силу ограниченности емкости склада за день можно приготовить в совокупности не более 700 изделий. Рабочий день в кондитерском цехе длится 8 часов. Поскольку производство пирожных более трудоемко, то, если выпускать только их, за день можно произвести не более 250, пирожков же можно произвести 1000 (если при этом не выпускать пирожных). Стоимость пирожного вдвое выше, чем пирожка. Требуется составить дневной план производства, обеспечивающий кондитерскому цеху наибольшую выручку.

Сформулируем эту задачу математически. Плановыми показателями являются:

x — дневной план выпуска пирожков;

y — дневной план выпуска пирожных.

Ресурсы производства — это:

· длительность рабочего дня — 8 часов;

· вместимость складского помещения — 700 мест.

Получим соотношения, следующие из условий ограниченности времени работы цеха и вместимости склада, т.е. суммарного числа изделий. Из постановки задачи следует, что на изготовление одного пирожного затрачивается в 4 раза больше времени, чем на 1 пирожок. Если обозначить время изготовления пирожка t мин., то время изготовления пирожного равно 4t мин. Стало быть, суммарное время на изготовление x пирожков и y пирожных равно tx + 4ty = (+ 4y)t. Но это время не может быть больше длительности рабочего дня. Отсюда следует неравенство (x + 4y) 8 ? 60, или (x + 4y) 480.

Поскольку за рабочий день может быть изготовлено 1000 пирожков, то на один тратится 480/1000 = 0,48 мин. Подставляя это значение в неравенство, получим: (x + 4y) ? 0,48  480Отсюда x + 41000Ограничение на общее число изделий дает очевидное неравенство  700.

К двум полученным неравенствам следует добавить условия положительности значений величин x и (не может быть отрицательного числа пирожков и пирожных). В итоге мы получили систему неравенств:

x + 4y LesQ.gif (65 bytes) 1000, x + y  700, x  0, y  0                                      ()

Формализуем стратегическую цель: получение максимальной выручки. Выручка — это стоимость всей проданной продукции. Пусть цена одного пирожка r рублей. По условию задачи, цена пирожного в два раза больше, т.е. 2r рублей. Отсюда стоимость всей произведенной за день продукции равна rx + 2ry = r(x + 2y)Целью производства является получение максимальной выручки. Будем рассматривать записанное выражение как функцию от x, y: F(x, y) = r(x + 2y)Поскольку r — константа, то максимальное значение F(x, y) будет достигнуто при максимальной величине выражения x + 2y. Поэтому в качестве функции, максимум которой соответствует стратегической цели, можно принять

 

f(xy) = x + 2y                                                              ()

Следовательно, получение оптимального плана свелось к следующей математической задаче: найти значения плановых показателей x и y, удовлетворяющих системе неравенств () и придающих максимальное значение целевой функции ().

Методические рекомендации

Приведенный выше пример относится к классу задач линейного программирования. В теории оптимального планирования существует несколько классов задач, из которых линейное программирование — самый простой вариант. Изучение математических методов решения таких задач выходит за рамки целей школьного образования.

Вместе с тем было бы не логично ограничиться лишь теоретической постановкой задач оптимального планирования. Современные информационные технологии позволяют решать некоторые задачи оптимального планирования (и, в частности, линейного программирования) без проникновения в существо применяемых математических методов. В частности, такие средства имеются в табличном процессоре Excel, и на их основе можно продемонстрировать ученикам приемы решения конкретных задач. Средство, о котором идет речь, называется Поиск решения. Соответствующая команда находится в меню Сервис. Опишем кратко, как воспользоваться указанным средством для решения поставленной выше задачи.

Вначале подготовим таблицу к решению задачи оптимального планирования.

Ячейки B5 и C5 зарезервированы, соответственно, для значений x (план по изготовлению пирожков) и y (план по изготовлению пирожных). Левые части неравенств в столбце В, правые — в столбце D; знаки “<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.

Вызовем программу оптимизации и сообщим ей, где расположены данные. Для этого выполним команду Сервис | Поиск решения. На экране откроется соответствующая форма. Будем действовать по следующему алгоритму:

1. Введем координату ячейки с целевой функцией. В нашем случае это В15. (Заметим, что если перед этим установить курсор на ячейку В15, то ввод произойдет автоматически.)

2. Поставим отметку “Равной максимальному значению”, т.е. сообщим программе, что нас интересует нахождение максимума целевой функции.

3. В поле “Изменяя ячейки” введем В5:С5, т.е. сообщим, какое место отведено под значения переменных — плановых показателей.

4. В поле “Ограничения” надо ввести информацию о неравенствах-ограничениях, которые имеют вид: B10<=D10; B11<=D11; B12>=D12; B13>=D13. Ограничения вводятся следующим образом:

· щелкнуть по кнопке “Добавить”;

· в появившемся диалоговом окне “Добавление ограничения” вводим ссылку на ячейку В10, выбираем из меню знак неравенства “<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.

5. Закрываем диалоговое окно “Добавление ограничения”. Перед нами — подготовленная форма “Поиск решения”.

6. Щелкаем по кнопке “Выполнить” — в ячейках В5 и С5 появляется оптимальное решение (числа 600 и 100), а также число 800 в ячейке В15 — максимальное значение целевой функции.