Алфавитный подход

Алфавитный подход используется для измерения количества информации в тексте, представленном в виде последовательности символов некоторого алфавита. Такой подход не связан с содержанием текста. Количество информации в этом случае называется информационным объемом текста, который пропорционален размеру текста — количеству символов, составляющих текст. Иногда данный подход к измерению информации называют объемным подходом.

Каждый символ текста несет определенное количество информации. Его называют информационным весом символа. Поэтому информационный объем текста равен сумме информационных весов всех символов, составляющих текст.

Здесь предполагается, что текст — это последовательная цепочка пронумерованных символов. В формуле (1) i1 обозначает информационный вес первого символа текста, i2  информационный вес второго символа текста и т.д.;  размер текста, т.е. полное число символов в тексте.

Все множество различных символов, используемых для записи текстов, называется алфавитомРазмер алфавита — целое число, которое называется мощностью алфавита. Следует иметь в виду, что в алфавит входят не только буквы определенного языка, но все другие символы, которые могут использоваться в тексте: цифры, знаки препинания, различные скобки, пробел и пр.

Определение информационных весов символов может происходить в двух приближениях:

1) в предположении равной вероятности (одинаковой частоты встречаемости) любого символа в тексте;

2) с учетом разной вероятности (разной частоты встречаемости) различных символов в тексте.

Приближение равной вероятности символов в тексте

Если допустить, что все символы алфавита в любом тексте появляются с одинаковой частотой, то информационный вес всех символов будет одинаковым. Пусть N — мощность алфавита. Тогда доля любого символа в тексте составляет 1/N-ю часть текста. По определению вероятности (см. “Измерение информации. Содержательный подход” ) эта величина равна вероятности появления символа в каждой позиции текста:

p = 1/N

Согласно формуле К.Шеннона (см. “Измерение информации. Содержательный подход” ), количество информации, которое несет символ, вычисляется следующим образом:

i = log2(1/p) = log2(бит)                                             (2)

Следовательно, информационный вес символа (i) и мощность алфавита (N) связаны между собой по формуле Хартли (см. “Измерение информации. Содержательный подход” )

2i = N.

Зная информационный вес одного символа (i) и размер текста, выраженный количеством символов (K), можно вычислить информационный объем текста по формуле:

I = K ·                                                                 (3)

Эта формула есть частный вариант формулы (1), в случае, когда все символы имеют одинаковый информационный вес.

Из формулы (2) следует, что при N = 2 (двоичный алфавит) информационный вес одного символа равен 1 биту.

С позиции алфавитного подхода к измерению информации 1 бит  это информационный вес символа из двоичного алфавита.

Более крупной единицей измерения информации является байт.

1 байт  это информационный вес символа из алфавита мощностью 256.

Поскольку 256 = 28, то из формулы Хартли следует связь между битом и байтом:

2i = 256 = 28

Отсюда: i = 8 бит = 1 байт

Для представления текстов, хранимых и обрабатываемых в компьютере, чаще всего используется алфавит мощностью 256 символов. Следовательно,
1 символ такого текста “весит” 1 байт.

Помимо бита и байта, для измерения информации применяются и более крупные единицы:

1 Кб (килобайт) = 210 байт = 1024 байта,

1 Мб (мегабайт) = 210 Кб = 1024 Кб,

1 Гб (гигабайт) = 210 Мб = 1024 Мб.

Приближение разной вероятности встречаемости символов в тексте

В этом приближении учитывается, что в реальном тексте разные символы встречаются с разной частотой. Отсюда следует, что вероятности появления разных символов в определенной позиции текста различны и, следовательно, различаются их информационные веса.

Статистический анализ русских текстов показывает, что частота появления буквы “о” составляет 0,09. Это значит, что на каждые 100 символов буква “о” в среднем встречается 9 раз. Это же число обозначает вероятность появления буквы “о” в определенной позиции текста: po = 0,09. Отсюда следует, что информационный вес буквы “о” в русском тексте равен:

Самой редкой в текстах буквой является буква “ф”. Ее частота равна 0,002. Отсюда:

Отсюда следует качественный вывод: информационный вес редких букв больше, чем вес часто встречающихся букв.

Как же вычислить информационный объем текста с учетом разных информационных весов символов алфавита? Делается это по следующей формуле:

Здесь N — размер (мощность) алфавита; nj — число повторений символа номер j в тексте; ij — информационный вес символа номер j.

Методические рекомендации

Алфавитный подход в курсе информатики основой школы

В курсе информатики в основной школе знакомство учащихся с алфавитным подходом к измерению информации чаще всего происходит в контексте компьютерного представления информации. Основное утверждение звучит так:

Количество информации измеряется размером двоичного кода, с помощью которого эта информация представлена

Поскольку любые виды информации представляются в компьютерной памяти в форме двоичного кода, то это определение универсально. Оно справедливо для символьной, числовой, графической и звуковой информации.

Один знак (разряд) двоичного кода несет 1 бит информации.

При объяснении способа измерения информационного объема текста в базовом курсе информатики данный вопрос раскрывается через следующую последовательность понятий: алфавит  размер двоичного кода символа  информационный объем текста.

Логика рассуждений разворачивается от частных примеров к получению общего правила. Пусть в алфавите некоторого языка имеется всего 4 символа. Обозначим их:. Эти символы можно закодировать с помощью четырех двухразрядных двоичных кодов:  — 00,  — 01,  — 10,  — 11. Здесь использованы все варианты размещений из двух символов по два, число которых равно 22 = 4. Отсюда делается вывод: информационный вес символа из 4-символьного алфавита равен двум битам.

Следующий частный случай — 8-символьный алфавит, каждый символ которого можно закодировать 3-разрядным двоичным кодом, поскольку число размещений из двух знаков группами по 3 равно 23 = 8. Следовательно, информационный вес символа из 8-символьного алфавита равен 3 битам. И т.д.

Обобщая частные примеры, получаем общее правило: с помощью b-разрядного двоичного кода можно закодировать алфавит, состоящий из N = 2b — символов.

Пример 1. Для записи текста используются только строчные буквы русского алфавита и “пробел” для разделения слов. Какой информационный объем имеет текст, состоящий из 2000 символов (одна печатная страница)?

Решение. В русском алфавите 33 буквы. Сократив его на две буквы (например, “ё” и “й”) и введя символ пробела, получаем очень удобное число символов — 32. Используя приближение равной вероятности символов, запишем формулу Хартли:

2i = 32 = 25

Отсюда: i = 5 бит — информационный вес каждого символа русского алфавита. Тогда информационный объем всего текста равен:

I = 2000 · 5 = 10 000 бит

Пример 2. Вычислить информационный объем текста размером в 2000 символов, в записи которого использован алфавит компьютерного представления текстов мощностью 256.

Решение. В данном алфавите информационный вес каждого символа равен 1 байту (8 бит). Следовательно, информационный объем текста равен 2000 байт.

В практических заданиях по данной теме важно отрабатывать навыки учеников в пересчете количества информации в разные единицы: биты — байты — килобайты — мегабайты — гигабайты. Если пересчитать информационный объем текста из примера 2 в килобайты, то получим:

2000 байт = 2000/1024  1,9531 Кб

Пример 3. Объем сообщения, содержащего 2048 символов, составил 1/512 часть мегабайта. Каков размер алфавита, с помощью которого записано сообщение?

Решение. Переведем информационный объем сообщения из мегабайтов в биты. Для этого данную величину умножим дважды на 1024 (получим байты) и один раз — на 8:

I = 1/512 · 1024 · 1024 · 8 = 16 384 бита.

Поскольку такой объем информации несут 1024 символа (К), то на один символ приходится:

i = I/K = 16 384/1024 = 16 бит.

Отсюда следует, что размер (мощность) использованного алфавита равен 216 = 65 536 символов.

Объемный подход в курсе информатики в старших классах

Изучая информатику в 10–11-х классах на базовом общеобразовательном уровне, можно оставить знания учащихся об объемном подходе к измерению информации на том же уровне, что описан выше, т.е. в контексте объема двоичного компьютерного кода.

При изучении информатики на профильном уровне объемный подход следует рассматривать с более общих математических позиций, с использованием представлений о частотности символов в тексте, о вероятностях и связи вероятностей с информационными весами символов.

Знание этих вопросов оказывается важным для более глубокого понимания различия в использовании равномерного и неравномерного двоичного кодирования (см. “Кодирование информации” ), для понимания некоторых приемов сжатия данных (см. “Сжатие данных” ) и алгоритмов криптографии (см. “Криптография” ).

Пример 4. В алфавите племени МУМУ всего 4 буквы (А, У, М, К), один знак препинания (точка) и для разделения слов используется пробел. Подсчитали, что в популярном романе “Мумука” содержится всего 10 000 знаков, из них: букв А — 4000, букв У — 1000, букв М — 2000, букв К — 1500, точек — 500, пробелов — 1000. Какой объем информации содержит книга?

Решение. Поскольку объем книги достаточно большой, то можно допустить, что вычисленная по ней частота встречаемости в тексте каждого из символов алфавита характерна для любого текста на языке МУМУ. Подсчитаем частоту встречаемости каждого символа во всем тексте книги (т.е. вероятность) и информационные веса символов

Общий объем информации в книге вычислим как сумму произведений информационного веса каждого символа на число повторений этого символа в книге: